Задачи по теории вероятности 2


главная страница Рефераты Курсовые работы текст файлы добавьте реферат (спасибо :)Продать работу

поиск рефератов

Задача на тему Задачи по теории вероятности 2

скачать
похожие рефераты • Точное совпадение: 2 реферата
подобные качественные рефераты

Размер: 178.72 кб.
Язык: русский
Разместил (а): Palon
30.06.2011
1 2 3    

Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ: вероятность 3/8.
Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n = 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.
Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n = 11!;    M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.
Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8  ч           Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6  б           событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно



а) А1 - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

 Р(А1) = 560/2002 = 280/1001.

б) А2 - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В1 - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В2 - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В3 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А2 = В1  В2  В3.

Так как события В1, В2 и В3 несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А2) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3);



Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в)  - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:



Р(А3) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А1) = 280/1001, Р(А2) = 483/1001, Р(А3) = 973/1001.
Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.
1 урна          2 урна                    Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями   

5     б            6       б                    являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров                

7     ч            4       ч                    из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____           ______                   по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

   2                    2                          а) А1 - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

                                                   или все черные.

            Определим для каждой урны всевозможные события:

            В1 - из первой урны вынуты 2 белых шара;

            В2 - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

            В3 - из первой урны вынуты 2 черных шара;

            С1 - из второй урны вынуты 2 белых шара;

            С2 - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

            С3 - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А1 = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А1) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В3) * Р(С3).

            Найдем количество элементарных событий n1 и n2  для первой и второй урн соответственно. Имеем:



            Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В1 : m11 =          C1 : m21 =

B2 : m12 =     C2 : m22 =

B3 : m13 =      C3 : m23 =

Следовательно,

Р(А1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

            б) А2 - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А2 = (В1  С2  2  С1);

Р(А2) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В2) * Р(С2)

Р(А2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

            в) А3 - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда



Р() = Р(В3) * Р(С3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А3) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А1) = 46/495, Р(А2) = 1/3, Р(А3) = 158/165.
Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.
Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В1 - в урне было 5 белых шара;

В2 - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В3 - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В4 - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В5 - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В6 - в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов



Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

                                Р(А/В1) = 1.

                           Р(А/В2) = 56/84 = 2/3.

                            Р(А/В3) = 35/84 = 5/12.

                                Р(А/В4) = 5/21.

                                Р(А/В5) = 5/42.

                                  Р(А/В6) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504.
Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно  (для В1) и  (для В2); таким образом Р(В1) = 3/ 11, Р(В2) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В1) = 0,87 и Р(А.В2) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.
Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1=13, М2=12, и М3=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.
Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В1) = 0,91, Р(А/В2) = 0,82, Р(А/В3) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

            Р(В1) = 13/42 = 0,3095;   Р(В2) = 12/42 = 0,2857;   Р(В3) = 17/42 = 0,4048;

            Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

            По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В1:

Р(В1/А) =

Р(В2/А) =

Р(В3/А) =

Ответ: Р(В1/А) = 0,3403,    Р(В2/А) = 0,2831,   Р(В3/А) = 0,3766
Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.
Задача 2.1.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности рk, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей рk. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р0, р1, р2 , ..., р11 и k.                                                                

Используя формулу Бернулли. Значение р0 вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности рk - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р0 = *0,360 * 0,6411 = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство  

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32. np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р3 является максимальным.

Таблица 1



k

(n-k-1)/ k

рk



k

(n-k-1)/ k

pk

0

1

2

3

4

5

-

11/ 1

10/ 2

9/ 3

8/ 4

7/ 5

0,0073787

0,0456556

0,1284066

0,2166861

0,2437719

0,1919704



6

7

8

9

10

11

6/ 6

5/ 7

4/ 8

3/ 9

2/ 10

1/ 11

0,1079833

0,0433861

0,0122023

0,0022879

0,0002573

0,0000131











-

0,9926213



Рисунок 1 График вероятностей рk
Задача 2.2.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.
а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

    Найти: Р760(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:





Значение функции j(x)  найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562,   P760(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
б) Найти: Р760(284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:                     







Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р760(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.
в) Найти: Р760(330<k).

Имеем:  х1 = -1,98,

Р760(330<k) = Р760(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.
    продолжение
1 2 3    

Добавить задачу в свой блог или сайт
загрузка...
Удобная ссылка:

Скачать задачу бесплатно
подобрать список литературы


Задачи по теории вероятности 2


Постоянный url этой страницы:
Задача Задачи по теории вероятности 2


Разместите кнопку на своём сайте:
Рефераты
вверх страницы


© coolreferat.com | написать письмо | правообладателям | читателям
При копировании материалов укажите ссылку.